ÁLGEBRA GRACELI - [SISTEMA DE PROGRESSÕES]

somatório com fatores de Grceli.

Esta lista de séries matemáticas contém fórmulas para somas finitas e infinitas. Ela pode ser usada em conjunto com outras ferramentas para avaliar somas.

Aqui, considera-se que $0^{0}$ vale $1$
$B_{n}(x)$ é um polinômio de Bernoulli.
$B_{n}$ é um número de Bernoulli, e aqui, $B_{1}=-{\frac {1}{2}}.$
$E_{n}$ é um número de Euler.
$\zeta (s)$ é a função zeta de Riemann.
$\Gamma (z)$ é a função gama.
$\psi _{n}(z)$ é uma função poligama.
$\operatorname {Li} _{s}(z)$ é um polilogaritmo .
$n \choose k$ é o coeficiente binomial
$\exp(x)$ denota a exponencial de $x$

sendo p = progressão,

k, w, h = números reais.

[pk/ pw] / ph] =

Os somatórios são úteis para expressar somas arbitrárias de números, por exemplo em fórmulas. Se queremos representar a fórmula para se calcular a média aritmética de $n$ números, teremos a seguinte expressão:

$\zeta (s)$ [pk/ pw] / ph] ${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i},$ =

$B_{n}$ [pk/ pw] / ph] ${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i},$ =

$\Gamma (z)$ [pk/ pw] / ph] ${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i},$ =

onde $\{x_{i}\}_{i=1}^{n}$ é um dada sequência de $n$ números.[3]

Algumas propriedades

Sejam $\{x_{k}\}_{k\in \mathbb {N} },$ $\{y_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ sequências (por exemplo, de números reais) e $\alpha$ um escalar. Então, temos:

$\Gamma (z)$ / [pk/ pw] / ph] /. $\sum _{i=m}^{n}\alpha x_{i}=\alpha \sum _{i=m}^{n}x_{i}$ [3] =

$B_{n}$ / [pk/ pw] / ph] / $\sum _{i=m}^{n}(x_{i}\pm y_{i})=\sum _{i=m}^{n}x_{i}\pm \sum _{i=m}^{n}y_{i}$ [

$B_{n}(x)$ / / [pk/ pw] / ph] $\sum _{i=m}^{m}x_{i}=x_{m}$

$\zeta (s)$ / [pk/ pw] / ph] $\sum _{i=m}^{n}x_{i}=\sum _{i=m}^{p}x_{i}+\sum _{i=p+1}^{n}x_{i},\quad \forall m\leq p\leq n$

$\zeta (s)$ / [pk/ pw] / ph] $\sum _{i=m}^{n}x_{i}=\sum _{i=m+p}^{n+p}x_{i-p}$

$\zeta (s)$ / [pk/ pw] / ph] $\sum _{i=m}^{n}(x_{i+1}-x_{i})=x_{n+1}-x_{m}$

$\zeta (s)$ / [pk/ pw] / ph] . $\sum _{i=m}^{n}\sum _{j=k}^{l}x_{i}y_{j}=\sum _{i=m}^{n}x_{i}\sum _{j=k}^{l}y_{j}$

$\psi _{n}(z)$ / [pk/ pw] / ph] $\left|\sum _{i=m}^{n}x_{i}\right|\leq \sum _{i=m}^{n}|x_{i}|$

$\psi _{n}(z)$ / [pk/ pw] / ph] $\sum _{n=0}^{t}x_{2n}+\sum _{n=0}^{t}x_{2n+1}=\sum _{n=0}^{2t+1}x_{n}$

$\operatorname {Li} _{s}(z)$ / [pk/ pw] / ph] $n \choose k$ $\sum _{n=0}^{t}\sum _{i=0}^{z-1}x_{z\cdot n+i}=\sum _{n=0}^{z\cdot t+z-1}x_{n}$

$\exp(x)$ [pk/ pw] / ph] $\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{n}b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{2n}\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}-\sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k}\sum _{i=n+1}^{2n-k}b_{i}+b_{k}\sum _{i=n+1}^{2n-k}a_{i}\right)$

Nas propriedades acima, assumimos que as sequências $\{x_{k}\}_{k\in \mathbb {N} },$ $\{y_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }$ pertencem a um espaço vetorial. Particularmente, na propriedade 8., $|\cdot|$ denota a norma (quando existe) definida neste espaço. Esta propriedade é uma extensão natural da desigualdade triangular. No caso do espaço usual dos números reais, $|\cdot|$ é a função valor absoluto.

Para uma sequência $\{x_{i,j}\}_{(i,j)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ é usual denotarmos somatórios duplos da seguinte forma:

\zeta (s)

Neste contexto temos as seguintes propriedades:

$\zeta (s)$ / [pk/ pw] / ph / $\sum _{k\leq j\leq i\leq n}x_{i,j}:=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}x_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}x_{i,j}$

$\zeta (s)$ / [pk/ pw] / ph . $\sum _{i=m+k}^{n}\sum _{j=m}^{i-k}a_{i,j}=\sum _{j=m}^{n-k}\sum _{i=j+k}^{n}a_{i,j}$

Algumas propriedades envolvendo soma e produto podem ser generalizadas usando a notação de somatório e produtório. Dada uma sequência $\{x_{i}\}_{i\in \mathbb {N} },$ o produtório é, usualmente, denotado por:

\zeta (s)

Por exemplo, temos as propriedades:

$\zeta (s)$ / [pk/ pw] / ph / $\sum _{n=s}^{t}\ln x_{n}=\ln \prod _{n=s}^{t}x_{n}$

$\zeta (s)$ / [pk/ pw] / ph / $c^{\left[\sum _{n=s}^{t}x_{n}\right]}=\prod _{n=s}^{t}c^{x_{n}},{\mbox{onde}}~c>0.$

Número de termos do somatório

Dado o somatório:

\zeta (s)

O número de termos da expressão resultante será dado por

t=n+1-m-r

[4][5], onde:

$t$ é o número de termos do somatório expandido;

$n$ é o índice final (ou limite superior);

$m$ é o índice inicial (ou limite inferior);

$r$ é o número de restrições as quais o intervalo $[m,\ n]$ está submetido.

Exemplos:

$\zeta (s)$

O número de termos que expressão resultante terá é:

t=n+1-m-r=5+1-1-0

=5

ou seja, 5 termos:

\sum _{i=1}^{5}2i=2(1)+2(2)+2(3)+2(4)+2(5)=2+4+6+8+10

2) $\sum _{i=0}^{7}ix+{\frac {2}{(i-2)(i-3)}}$ , para $i\neq 2,\ 3$ .

Note que temos duas restrições: $i\neq 2,\ 3$ . O número de termos que expressão resultante terá é dado por

t=n+1-m-r=7+1-0-2

=6

ou seja, 6 termos:

\sum _{i=0}^{7}ix+{\frac {2}{(i-2)(i-3)}}={\Bigl (}{\frac {2}{(0-2)(0-3)}}{\Bigr )}+{\Bigl (}x+{\frac {2}{(1-2)(1-3)}}{\Bigr )}+{\Bigl (}4x+{\frac {2}{(4-2)(4-3)}}{\Bigr )}+{\Bigl (}5x+{\frac {2}{(5-2)(5-3)}}{\Bigr )}

+{\Bigl (}6x+{\frac {2}{(6-2)(6-3)}}{\Bigr )}+{\Bigl (}7x+{\frac {2}{(7-2)(7-3)}}{\Bigr )}

Observação: o número de termos do somatório não necessariamente é igual ao número de termos da expressão final simplificada. Além disso, tenha certeza que todas as $r$ restrições pertencem ao intervalo $[m,\ n]$ , caso contrário, desconsidere-as (o que não ocorre na maioria dos casos).

Alguns somatórios de funções polinomiais

$\sum _{{i=m}}^{n}1=n+1-m$
$\sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$ (Soma de uma progressão aritmética)
$\sum _{i=1}^{n}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$ (Número piramidal quadrado)
$\sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}$ [3]
$\sum _{i=1}^{n}i^{4}=1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +n^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}$ [3]
$\sum _{i=1}^{n}i^{5}=1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2}+2n-1)}{12}}$ [3]
$\sum _{i=1}^{n}i^{6}=1^{6}+2^{6}+3^{6}+\cdots +n^{6}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{4}+6n^{3}-3n+1)}{42}}$ [3]
$\sum _{i=0}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1}$